Área do Pentágono
A = (5·l²)/(4·tan(π/5))P = 5·lA área do pentágono regular é cinco vezes o lado ao quadrado, dividido por quatro vezes a tangente de π sobre cinco. O fator resultante vale aproximadamente 1,721.
O perímetro é cinco vezes o lado.
A fórmula exige um pentágono **regular**, com os cinco lados e os cinco ângulos iguais. Cada ângulo interno mede 108 graus.
Triângulos, quadrados e hexágonos regulares preenchem o plano sem deixar vão. Pentágonos regulares não conseguem.
A razão é aritmética: para fechar em volta de um vértice, os ângulos precisam somar exatamente 360 graus. Com 108 graus, três pentágonos somam 324 e sobra um vão de 36 graus; quatro somariam 432 e se sobrepõem.
É por isso que não existe piso de pentágonos regulares — e por que o hexágono, com 120 graus, cabe exatamente três vezes.
A razão entre a diagonal e o lado de um pentágono regular é exatamente a proporção áurea, aproximadamente 1,618.
Traçando todas as diagonais, forma-se o pentagrama, e cada cruzamento divide os segmentos nessa mesma proporção. Essa recorrência fascinou os pitagóricos e é o motivo do símbolo aparecer em tanta iconografia histórica.
É também um dos poucos lugares onde a proporção áurea aparece por necessidade geométrica, e não por interpretação estética posterior.
Perguntas frequentes
Não. A fórmula pressupõe cinco lados e cinco ângulos iguais. Para irregulares, divida a figura em triângulos e some as áreas.
108 graus. A soma dos ângulos internos de qualquer pentágono é 540 graus, e no regular ela se divide igualmente entre os cinco.
Porque 108 graus não divide 360. Três pentágonos deixam um vão de 36 graus em cada vértice, e quatro se sobrepõem.
A razão entre a diagonal e o lado é exatamente a proporção áurea. Traçando as diagonais, cada cruzamento divide os segmentos nessa mesma razão.