Área del Pentágono
A = (5·l²)/(4·tan(π/5))P = 5·lEl área del pentágono regular es cinco veces el lado al cuadrado, dividido entre cuatro veces la tangente de π entre cinco. El factor resultante vale aproximadamente 1,721.
El perímetro es cinco veces el lado.
La fórmula exige un pentágono **regular**, con los cinco lados y los cinco ángulos iguales. Cada ángulo interior mide 108 grados.
Los triángulos, cuadrados y hexágonos regulares llenan el plano sin dejar huecos. Los pentágonos regulares no pueden.
La razón es aritmética: para cerrar alrededor de un vértice, los ángulos deben sumar exactamente 360 grados. Con 108 grados, tres pentágonos suman 324 y dejan un hueco de 36 grados; cuatro sumarían 432 y se solapan.
Por eso no existe un suelo de pentágonos regulares, y por eso el hexágono, con 120 grados, encaja exactamente tres veces.
La razón entre la diagonal y el lado de un pentágono regular es exactamente la proporción áurea, aproximadamente 1,618.
Al trazar todas las diagonales se forma el pentagrama, y cada cruce divide los segmentos en esa misma proporción. Esa recurrencia fascinó a los pitagóricos y es la razón de que el símbolo aparezca en tanta iconografía histórica.
Es también uno de los pocos lugares donde la proporción áurea aparece por necesidad geométrica, y no por interpretación estética posterior.
Preguntas frecuentes
No. La fórmula presupone cinco lados y cinco ángulos iguales. Para los irregulares, divide la figura en triángulos y suma las áreas.
108 grados. Los ángulos interiores de cualquier pentágono suman 540 grados, y en el regular se reparten por igual entre los cinco.
Porque 108 grados no divide a 360. Tres pentágonos dejan un hueco de 36 grados en cada vértice, y cuatro se solapan.
La razón entre la diagonal y el lado es exactamente la proporción áurea. Al trazar las diagonales, cada cruce divide los segmentos en esa misma razón.